Aus der Hüttenwerkstatt

ART - Unbearbeitete Version

Stellt man sich ein elastisches Tuch vor, in das man ein schwere Kugel legt, so krümmt sich das Tuch. Bewegt sich nun eine Murmel auf dieser gekrümmten Fläche, so wird sich die Murmel spiralförmig auf die schwere Kugel zu bewegen, falls die Anfangsgeschwindigkeit der Kugel klein genug ist. Vergrößert man die Anfangsgeschwindigkeit der Murmel, so kann man erreichen, dass die Murmel sich auf einer gekrümmten Bahn an der schweren Kugel vorbei bewegt. Denkt man sich das elastische Tuch weg, dann würde man ebenfalls die verschiedenen Bahnen der Murmel beobachten. Isaac Newton¹ hat den Grund für dieses Verhalten in der Massenanziehung – der Gravitation – gesehen. Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie liegt allerdings der Grund für das Bewegungsverhalten der Murmel in der Krümmung der Raumzeit. Massen ziehen sich also nicht an, sondern krümmen die Raumzeit wie eine schwere Kugel ein elastisches Tuch. Die Gravitation ist also keine Kraft sondern die Ursache für diese Raumzeitkrümmung. Dieses Verhalten der Raumzeit wird durch die Feldgleichungen beschrieben, die Einstein 1915 gefunden hatte und J.A. Wheeler treffend im folgenden Satz zusammengefasst hat:

”Matter tells space how to curve and spacetime tells matter how to move!“²

Erschwerend kommt bei dieser Vorstellung hinzu, dass es sich bei der Raumzeit um eine vierdimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Pseudometrik handelt. Bernhard Riemann³ war der erste Mathematiker, der die Geometrie auf nicht Euklidischen Räumen – den Räumen unserer Anschauung – untersuchte und dabei den Ableitungsbegriff, den man aus dem Oberstufenunterricht kennt, auf diese Räume erweitert hat.

Der erste Teil dieser Abhandlung beschäftigt sich mit diesem rein mathematischen Thema. Dabei spielen gewisse mathematische Objekte eine zentrale Rolle, die man Tensoren nennt. Eine Gleichung, die man mit Tensoren aufstellt, gilt dabei für jede Koordinatentransformation. Koordinaten sind dabei Zahlentupel mit der man die Riemannsche Mannigfaltigkeit lokal beschreiben kann. Dies war auch der Grund für Einstein mit Tensoren Gleichungen aufzustellen, weil die physikalischen Gesetze in jedem Koordinatensystem gültig sein sollen. Eine schwere Aufgabe für Einstein, weil es ca. drei Jahre dauerte, bis er die richtigen geometrischen Tensoren für seine Feldgleichungen gefunden hatte.

Der zweite Teil der Abhandlung ist der physikalische Teil. Er bezieht sich auf den Energie-Impuls-Tensor und versucht, bekannte Ergebnisse über Schwarze Löcher mathematisch zu reproduzieren.

Die Abhandlung richtet sich an Leser, die die mathematischen Grundlagen der Einsteinschen Feldgleichungen wissen wollen, weil alle mathematischen Begriffe dafür sehr ausführlich behandelt werden und mit Beispielrechnungen unterlegt sind, die hoffentlich dazu beitragen, die Begriffe transparenter zu machen.

ART

© Günter Opitz-Ohlsen, 2019